Энтропия Больцмана и информационные функции

СИСТЕМНЫЕ ОБРАЗОВАНИЯ: ИНФОРМАЦИЯ И ОТРАЖЕНИЕ


Вяткин В.Б.

ВВЕДЕНИЕ В СИНЕРГЕТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ ИНФОРМАЦИИ

Этот раздел опубликован в виде отдельной статьи в "Научном журнале КубГАУ" по адресу:

http://ej.kubagro.ru/a/viewaut.asp?id=762

5. Взаимосвязь информационных функций с
термодинамической энтропией Больцмана

Покажем, что каждая из функций при определенных условиях имеет непосредственную (асимптотически линейную) взаимосвязь с термодинамической энтропией Больцмана (E) При этом предварительно напомним, что энтропия Больцмана является статистическим выражением второго начала термодинамики и имеет вид:

E = klnW                                       (40)

где k = 1,38•10-23 дж/град - постоянная Больцмана, а W - термодинамическая вероятность, выражающая число микросостояний, посредством которых может быть реализовано данное макросостояние какой-либо термодинамической системы.

Также отметим, что вероятность W является однозначной функцией состояния системы, достигает своего максимального значения, когда система приходит в термодинамическое равновесие и обладает свойством мультипликативности, то есть W системы, состоящий из N невзаимодействующих между собой частей, равна произведению вероятностей этих частей:

                              (41)

Из выражений (40) и (41) следует, что энтропия Больцмана является аддитивной величиной или, иначе говоря, энтропия E системы, состоящей из невзаимодействующих частей равна сумме энтропий этих частей:

                                                             (42)

Рассмотрим теперь переход некоторой изолированной (закрытой) термодинамической системы D, состоящей из N идеальных газов, из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия. При этом сохраним прежние обозначения и отметим следующее. – Каждый газ образует подсистему Bi (системный объект), состоящую из m(Bi) молекул и занимает часть объема Vi системы, пропорциональную m(Bi), то есть . Причем все молекулы системы D имеют одинаковые размеры и обладают одинаковой массой. Также очевидно, что общее количество молекул в системе равно .

В начальный момент времени t0 система D находится в структурно-упорядоченном состоянии, которое характеризуется тем, что взаимодействие между подсистемами отсутствует или, как принято говорить, – между подсистемами установлены непроницаемые перегородки. В данном состоянии термодинамическая вероятность каждой подсистемы определяется значением Wi = m(Bi)!, а соответствующая энтропия E0 системы в целом, согласно (42), равна:

                                                                        (43)

После убирания перегородок каждый из газов, вследствие теплового движения молекул, перемешивается с другими газами и в момент времени равномерно распределяется по всей системе D, что приводит последнюю в состояние термодинамического равновесия (флуктуации распределения молекул по системе в целом мы сейчас во внимание не принимаем). Термодинамическая вероятность системы на протяжении времени увеличивается и достигает в момент времени tR своего максимального значения WR = m(A)!. Энтропия ER равновесного состояния системы соответственно равна:

ER = k ln m(A)!                                    (44)

Величина, на которую возрастает энтропия системы за время , называется энтропией смешения и имеет вид:

                                                                              (45)

Из выражений (43) – (45) следует, что общая схема процесса перехода системы D из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия может быть выражена через уравнение баланса энтропии Больцмана:

                                                                                                   (46)

С целью установления взаимосвязи информационных функций с энтропией Больцмана E выполним преобразования выражений (43) – (45), для чего воспользуемся формулой Стирлинга:

                                                                                                  (47)

и будем применять её в огрубленном виде:

                                                                                                         (48)

Основанием для такого огрубления служит тот факт, что относительная погрешность замены (47) на (48) в соответствии с числом Лошмидта NL = 2,687•1019 1/см3, выражающего количество молекул идеального газа, находящихся в 1см3 при нормальных условиях, составляет: для 1см3 – 2,3 %, для 1м3 – 1,7 %, и т.д. В то же самое время многие из реально существующих природных систем имеют несравненно большие размеры, что делает указанное огрубление оправданным. (Например, запасы месторождений природного газа, которые в первом приближении представляют собой изолированные системы, иногда исчисляются триллионами кубометров [34]).

Делая необходимые подстановки, получаем:

Так как величина k m(A) ln2 инвариантна относительно любых структурных преобразованиях системы D то, обозначая её через , окончательно напишем выражения энтропии Больцмана в следующем виде:

, ,                                                                  (49)

Подставляя значения энтропий из выражения (49) в уравнение (46) получаем асимптотический эквивалент информационного закона отражения (39) для случая закрытых системных образований (), то есть:

~                                                       (50)

Полученные выражения энтропии Больцмана (49) и вытекающая из них асимптотическая эквивалентность (50) свидетельствуют о непосредственной взаимосвязи синергетической теории информации со статистической термодинамикой [35]. Этот факт позволяет утверждать, что разрабатываемая теория, имея предметом своего познания информационно-количественные аспекты отражения системных образований, по своей сущности является физической теорией. Не исключено, что нечто подобное имел в виду академик С.И. Вавилов, делая в 1935 году следующее предположение: “Может случиться так, что будущая физика включит как первичное, простейшее явление “способность сходную с ощущением” [36], и на ее основе будет объяснять многое другое” [37].

Литература и примечания

34. См., например: Сырьевая база газовой промышленности федеральных округов России // Минеральные ресурсы России, № 4, 2001 г.

35. Вопрос объективного существования непосредственной (функционально выраженной) взаимосвязи между информацией и термодинамической энтропией длительный период времени является объектом дискуссии. Активные сторонники наличия такой взаимосвязи при этом аргументируют тем, что, поскольку в традиционных мерах информации присутствует произвольный коэффициент К, зависящий от выбора единиц измерения информации (соображений удобства), то, используя в качестве этого коэффициента постоянную Больцмана, можно отождествлять получаемые выражения с физической энтропией. Применяя подобные рассуждения в своих исследованиях и, вместе с тем, возражая им, французский физик П.Шамбадаль, в частности, писал: “Тождественность величин I и S происходит не столько от самой природы вещей, сколько от нашего произвола”. (Шамбадаль П. Развитие и приложения понятия энтропии. М.: Наука, 1967. С.191.) Мы же, принимая участие в данной дискуссии, на основании выражений (49) и (50) можем сказать, что между информацией и термодинамической энтропией Больцмана действительно существует непосредственная взаимосвязь, из которой, впрочем, не следует, что они тождественны друг другу.

36. Не вызывает сомнений, что говоря о “способности сходной с ощущением, академик Вавилов С.И. имел в виду ленинское определение категории отражение.

37. Вавилов С. Физика // Под знаменем марксизма, 1935, № 1.

Дальше


Главная страница

 



Hosted by uCoz